|
|
|
|
Спецкурс (весенний семестр)Аддитивные схемы (схемы расщепления) для задач математической физики(0.5 года, для студентов 4-5 курса и аспирантов) При приближенном решение начально-краевых задач для многомерных уравнений с частными производными широко используются экономичные разностные схемы, которые основаны на последовательном решении одномерных задач. В общем случае о таких схемах говорят как об аддитивных разностных схемах. В курсе дается полное изложение проблем построения, исследования и использования аддитивных разностных схем. С общих позиций теории устойчивости (корректности) операторно-разностных схем проведено рассмотрение схем двухкомпонентного расщепления, наиболее известным примером которых являются схемы переменных направлений. При общем многокомпонентном расщеплении безусловно устойчивые аддитивные схемы строятся с привлечением понятия суммарной аппроксимации. Значительное внимание уделяется новым классам аддитивных схем полной аппроксимации. Для эволюционных уравнений первого и второго порядка используются векторные аддитивные схемы, регуляризованные аддитивные схемы. Выделены схемы расщепления для приближенного решения некорректных эволюционных задач. Общие результаты используются для построения и исследования схем расщепления по пространственным переменным и физическим процессам. При ориентации на современные компьютеры параллельной архитектуры большого внимания заслуживают схемы декомпозиции (разделения) области.
Курс лекций (осенний семестр)Математическое моделирование и численные методы(0.5 года, для студентов 4 курса МФТИ, Институт проблем безопасного развития атомной энергетики РАН) МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ И ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЙ ЭКСПЕРИМЕНТ Дается общее описание новой технологии научных исследований, основанной на изучении математических моделей с помощью вычислительных средств. Такая технологии известна под названием "вычислительный эксперимент". Отмечены особенности применения ЭВМ при математическом моделировании на современном этапе. Указаны общие черты вычислительного эксперимента с теоретическими и экспериментальными методами в научных исследованиях. Приводится краткое описание различных типов вычислительного эксперимента. Вычислительный эксперимент рассматривается как наиболее высокая ступень математического моделирования, порожденная преобладающим использованием ЭВМ и численных методов для изучения математических моделей. ПОСТРОЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ Успех математического моделирования в значительной степени определяется тем, какие математические модели удалось построить, насколько они адекватны исследуемому процессу, насколько доступны для исследования. С общих позиций обсуждаются проблемы построения математических моделей. При исследовании сложного объекта выделяются подсистемы, для которых и строятся математические модели. При прикладном математическом моделировании принципиальным моментом является то, что речь должна идти не об отдельной математической модели (отдельной какой- то задаче), а об определенном классе (наборе) математических моделей (задач). Этот набор моделей определенным образом структурирован и упорядочен, поэтому мы говорим об иерархии прикладных математических моделей. Определяющие уравнения математической модели дополняются соответствующими граничными и начальными условиями - происходит замыкание модели. ПРЕДВАРИТЕЛЬНОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ Прежде чем применять вычислительные средства для исследования прикладных математических моделей проводится предварительное их исследование методами (в традициях) прикладной математики. Для упрощенных математических моделей используются методы качественного анализа решений нелинейных задач. В частности, большое внимание уделяется вопросам множественности решений, их устойчивости и т.д. Сокращение числа определяющих параметров задачи, выделение малых (больших) параметров достигается за счет использования безразмерных переменных. На основе классических методов линеаризации и асимптотических разложений по малому параметру удается получить приближенные решения для упрощенных математических моделей. При проведении вычислительного эксперимента большое значение имеют точные решения нелинейных уравнений. Эти решения могут, в частности, использоваться для тестирования вычислительных алгоритмов. ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЕ АЛГОРИТМЫ Основным элементом триады вычислительного эксперимента "модель - алгоритм - программа" является построение вычислительного алгоритма, который позволяет исследовать прикладную математическую модель с необходимой полнотой. Разработка численных методов является предметом вычислительной математики. Ориентируясь на прикладные модели, построенные на уравнениях с частными производными, дается краткое описание основных подходов к численному решению базовых задач. Выделены, прежде всего, системы нелинейных уравнений, численные методы решения задач линейной алгебры. При рассмотрении систем обыкновенных уравнений обращается внимание на необходимость учета особенностей жестких задач. Обсуждаются основные подходы к решению стационарных задач математической физики. Специфика многомерных нестационарных задач наиболее полно отражается в использовании схем расщепления. Отдельно выделены обратные задачи и задачи оптимального управления, численные методы их приближенного решения. Затрагиваются вопросы адаптации вычислительных алгоритмов на архитектуру современных векторных и параллельных ЭВМ. При разработке вычислительных алгоритмов приближенного решения прикладных проблем большое внимание уделяется вопросам тестирования вычислительных алгоритмов. ПРОГРАММНОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОГО ЭКСПЕРИМЕНТА Третья составная часть триады вычислительного эксперимента "модель- алгоритм- программа" связана с созданием программного обеспечения, которое соответствует современному уровню использования ЭВМ при прикладном математическом моделировании. Обсуждаются возрастающие требования к программному обеспечению, обусловленные особенностями вычислительного эксперимента, который ориентирован на многопараметрическое исследование класса задач. Рассмотрены вопросы модульного анализа прикладных математических моделей. Организация программного хозяйства идет по пути создания библиотек и комплексов прикладных программ. В пакетах прикладных программ для организации работы с функциональным наполнением (для создания рабочих программ) привлекаются и системные средства. ПРОВЕДЕНИЕ РАСЧЕТОВ И ИХ АНАЛИЗ На основе разработанных вычислительных алгоритмов и соответствующего программного обеспечения в рамках принятых математических моделей проводятся расчеты. Для получения необходимых результатов за минимальное время необходимо планировать вычисления. Важнейшее значение имеет проблема обработки полученных в числовой форме данных расчетов. С этой целью используются различные приемы сжатия информации, визуализация расчетов и т.д. На основе сравнения полученных результатов с данными натурных экспериментов и известными результатами теоретических исследований проводится уточнение математических моделей. ЛИТЕРАТУРА
|
|
|
