Микро-Макро моделирование

Годовой спец/курс для студентов III-V курсов.

 Кинетические уравнения и параллельные вычисления

Спец/семинар для студентов III-V курсов.
Научные руководители: проф. Четверушкин Б.Н., доц. Богомолов С.В., снс Дородницын Л.В.

 Вычислительные методы математического моделирования

Семестровый курс лекций для студентов III курса отделения второго высшего образования

на вверх

Микро-Макро моделирование
Годовой спец/курс для студентов III-V курсов.

Программа курса

1 семестр

Уравнение Больцмана. Переход к системе Навье-Стокса. Уравнение Колмогорова-Фоккера-Планка. Квазигидродинамика, кинетически-согласованный подход.

2 семестр

Стохастическое описание. Пуассоновские и винеровские процессы. Численные методы. Метод частиц (стохастический и детерминированный). Метод Монте-Карло.

 

•  Из истории кинетической теории.
•  Модель Больцмана-Пригожина движения автотранспорта.
•  Вывод уравнения Больцмана для газа из твердых сфер. Н-теорема.
•  Связь с уравнениями для макроскопических величин.
•  Цепочка уравнений ББГКИ (Боголюбов-Борн-Грин-Кирквуд-Ивон). Уравнение Власова.

 

•  Уравнение Больцмана для меры и соответствующий процесс Пуассона.
•  Броуновское движение и винеровский процесс.
•  Метод прямого статистического моделирования и численное решение системы стохастических дифференциальных уравнений по мере Пуассона.
•  Разностные схемы решения стохастических дифференциальных уравнений по винеровской мере.
•  Метод частиц для системы уравнений газовой динамики.

 

Литература

1. Арсеньев А.А. Кинетические уравнения//Серия «Математика, кибернетика».—1985.—№ 1
2. Арсеньев А.А. Лекции о кинетических уравнениях.—М.: Наука, 1992
3. Больцман Л. Избранные труды.—М.: Наука, 1984
4. Черчиньяни К. Теория и приложения уравнения Больцмана.—М.: Мир, 1978
5. Ферцигер Дж., Капер Г. Математическая теория процессов переноса в газах.—М.: Мир, 1976
6. Либов Р. Введение в теорию кинетических уравнений.—М.: Мир, 1974
7. Неравновесные явления: уравнение Больцмана.—М.: Мир, 1986
8. Хакен Г. Синергетика.—М.: Мир, 1985
9. Гардинер К.В. стохастические методы в естественных науках.—М.: Мир, 1986
10. Берд Г. Молекулярная газовая динамика.—М.: Мир, 1981
11. Четверушкин Б.Н. Кинетические схемы и квазигазодинамическая система уравнений.—М.: МАКС Пресс, 2004
12. Ермаков С.М., Михайлов Г.А. Статическое моделирование.—М.: Наука, 1982
13. Белоцерковский О.М., Давыдов Ю.М. Метод крупных частиц.—М.: Наука, 1982
14. Хокни Р., Иствуд Дж. Численное моделирование методом частиц.—М.: Мир, 1987
15. Королюк В.С., Портенко Н.И., Скороход А.В., Турбин А.Ф. Справочник по теории вероятностей и математической статистике.—М.: Наука, 1985
16. Булинский А.В., Ширяев А.Н. Теория случайных процессов.—М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003
17. Кузнецов Д.Ф. Численное моделирование стохастических дифференциальных уравнений и стохастических интегралов.—СПб.: Наука, 1999
18. Миллер Б.М., Панков А.Р. Случайные процессы в примерах и задачах.—М.: Изд. МАИ, 2001
19. Журнал «Математическое моделирование»: №7 (1989), №11 (1990), № 7 (1998), № 1, 4 (2003)

на вверх

Кинетические уравнения и параллельные вычисления
Cпец/семинар для студентов III-V курсов.
Научные руководители: проф. Четверушкин Б.Н., доц. Богомолов С.В., снс Дородницын Л.В.

Цель семинара – изучение эффективных методов численного моделирования, основанных на использовании кинетических и стохастических уравнений. Такие уравнения служат универсальным описанием физических процессов в сплошной среде. В последние годы область применения стохастических и кинетических моделей значительно расширяется, охватывая экономику и другие социальные науки.

Рассматриваются модели динамики сплошной среды на примере уравнений Эйлера для идеального газа, уравнений Навье-Стокса для вязкого газа и для несжимаемой жидкости. Рассматриваются принципы дискретизации газодинамических уравнений и простейшие разностные методы для них. Затем изучается способ получения уравнений газовой динамики на основе молекулярно-кинетического описания. Рассматриваются: уравнение Больцмана, его упрощения (модель Бхатнагара-Гросса-Крука и др.), стохастические дифференциальные уравнения по мерам Винера и Пуассона.

Изучаются конечно-разностные методы решения газодинамических задач, учитывающие кинетическую природу явлений в сплошной среде. Среди этих методов – кинетически-согласованные схемы, опирающиеся на дискретную модель кинетического уравнения, из которой в качестве простого математического следствия получается схема для газодинамических величин. Другой подход – метод частиц, основанный на аналогии между поведением молекул газа и жидких фрагментов вещества.

Обсуждается вопрос об эффективности кинетических подходов к газодинамическому моделированию, в частности, о способах параллельной реализации вычислений. Рассматриваются современные проблемы из таких областей, как аэродинамика, химические технологии, микро- и нано-электроника, управление потоками городского транспорта. Особое внимание уделяется кинетическим алгоритмам на неструктурированных сетках для расчета течений вокруг тел сложной формы, а также моделированию задач аэроакустики.

Студенты выступают с докладами по тематике семинара. В процессе работы над курсовыми и дипломными работами студенты имеют возможность осваивать высокопроизводительную вычислительную технику.

на вверх

Вычислительные методы математического моделирования
Семестровый курс лекций для студентов III курса отделения второго высшего образования.

Программа курса

Введение

Вычислительный эксперимент. Общие характеристики численных алгоритмов.

Глава 1. Разностные схемы для краевых задач.

Постановка разностной краевой задачи. Основные понятия теории разностных схем: сетки, сеточные функции; разносная схема; аппроксимация, устойчивость, сходимость; корректность; методика исследования устойчивости и сходимости (метод энергетических неравенств и принцип максимума).
Разностные схемы как операторные уравнения. Самосопряженность и положительная определенность разностного оператора. Разностная задача на собственные значения.
Однородность и консервативность разностных схем.
Сходимость однородной консервативной разностной схемы (гладкие и разрывные коэффициенты).
Однородные схемы на неравномерных сетках. Правило Рунге повышения точности.
Методы построения разностных схем: интегро-интерполяционный, вариационно-разностные (Ритца, Бубнова-Галеркина, конечных элементов), аппроксимации квадратного функционала или интегрального тождества; понятие о методе частиц.
Принцип максимума.

Глава 2. Задачи Коши для нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений.

Разностная схема Эйлера. Сходимость и устойчивость.
Методы Рунге-Кутта.
Метод Адамса. Класс многошаговых методов, условие корней, нуль-устойчивость.
Жесткие задачи, А- и А(a)-устойчивость, методы Гира.

Глава 3. Задачи Коши для систем линейных обыкновенных дифференциальных уравнений.

Двуслойные разностные схемы. Устойчивость по начальным данным. Необходимое и достаточное условие. Примеры применения основной теоремы.
Устойчивость по правой части. Метод энергетических неравенств.
p-устойчивость и асимптотическая устойчивость.

Глава 4. Разностные методы для эллиптических уравнений.

Разностная задача Дирихле для уравнения Пуассона в прямоугольнике. Свойства разностного оператора.
Сходимость (принцип максимума и метод энергетических неравенств).
Прямые методы реализации разностной схемы (метод разделения переменных).

Глава 5. Разностные методы для эволюционных задач.

Разностные схемы для одномерного уравнения теплопроводности: метод прямых, схема с весами. Операторная запись; аппроксимация; устойчивость по начальным данным, по правой части; асимптотическая устойчивость.
Уравнение переноса: условие Куранта, пример абсолютной неустойчивой схемы, устойчивость, монотонность; метод частиц.
Разностные схемы для двумерного уравнения теплопроводности: схема с весами, устойчивость и сходимость (применение общей теории двуслойных схем и принципа максимума).
Экономичные методы: факторизованный оператор, метод переменных направлений, метод суммарной аппроксимации.

Глава 6. Итерационные методы для задач линейной алгебры.

Двуслойные итерационные методы, примеры, теорема сходимости.
Скорость сходимости неявного стационарного метода. Стационарный метод с оптимальным параметром. Модельная задача.
Явный метод с Чебышевским набором параметров. Оценка числа итераций. Сравнение на модельной задаче с методом простой итерации.
Неявные методы: попеременно-треугольный и переменных направления. Модельная задача.
Вариационно-итерационные методы: минимальных невязок, скорейшего спуска. Понятие о методе сопряженных градиентов.

Литература

1. Самарский А.А. Введение в численные методы.—М.: Наука, 1987
2. Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы.—М.: Наука, 1989
3. Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы математической физики.—М.: Научный мир, 2000
4. Самарский А.А. Теория разностных схем.—М.: Наука, 1989
5. Калиткин Н.Н. Численные методы.—М.: Наука, 1978
6. Самарский А.А., Михайлов А.П. Математическое моделирование.—М.: Наука, 2001
7. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы.—М.—СПб.: Физматлит, 2001.
8. Андреев В.Б. Лекции по методу конечных элементов.—М.: изд. МГУ, 1997
9. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики.—М., Наука, 1989
10. Федоренко Р.П. Введение в вычислительную физику.—М., Изд-во МФТИ, 1994
11. Самарский А.А., Вабищевич П.Н., Самарская Е.А. Задачи и упражнения по численным методам.—М., Эдиториал УРСС, 2000
12. Бахвалов Н.С., Лапин А.В., Чижонков Е.В. Численные методы в задачах и упражнениях.—М., Высшая школа, 2000

на вверх

 Дата последнего изменения: 10/2004