Математическое моделирование системы кровообращения.
Настоящий цикл работ связан с исследованием кровообращения в организме в целом под действием периодически работающего сердца. Обращается внимание на взаимное влияние различных органов (в первую очередь почки) на давление в кровеносной системе. Предусматривается также изучение воздействия разнообразных факторов в сосудах, связанных с отклонениями от нормы функциональных характеристик сосуда, на состояние системы в целом и способов компенсации дефектов сосудов, например, шунтирования. Одним из направлений применения данной системы является анализ воздействия и распространения фармакологических средств. Предполагается рассмотрение внешних воздействий, например, вибрации на работу системы кровообращения.
Система кровообращения формально описывается графом, состоящим из ребер и
вершин. Ребра графа соответствуют отдельным крупным сосудам кровеносной системы
или жгутам функционально однородных мелких сосудов. Вершинам графа приписаны
функциональные свойства либо участков ветвления кровеносных сосудов, либо
мышечных тканей, либо отдельных органов живого организма.
На рисунках приведены примеры элементов программы редактирования графа и
проведения расчетов. Представленному на них графу сопоставлен большой круг
кровообращения человека.
Математическая постановка задачи.
Математическое описание кровотока основано на использовании системы уравнений гемодинамики, которая на каждом ребре графа имеет вид:
S = S ( p ) .
Здесь S -площадь поперечного сечения сосуда ,
u -скорость движения крови вдоль сосуда ,
р -давление крови в кровеносном сосуде ,
t -время ,
x -локальная пространственная координата , в качестве
которой выбрана длина дуги вдоль оси каждого сосуда ,
r -плотность крови , r = const,
Ft - внешняя сила, например, земного притяжения ,
Fтр = -8p n u / s - сила вязкого трения потока крови о стенки сосуда,
с коэффициентом вязкости n .
В вершинах графа на граничные значения функций p, u, s на всех ребрах накладываются дополнительные алгебраические соотношения, отражающие известное влияние отдельных моделируемых частей организма на кровоток.Вся совокупность уравнений гемодинамики на графе в целом представляет собой систему нелинейных дифференциальных и алгебраических уравнений. Решение этой системы осуществляется численно.
Для этой цели был создан ряд пакетов программ. Пакет программ MEDGRAPH предназначен для задания топологии графа сердечно-сосудистой системы и свойств элементов графа (параметров кровеносных сосудов и параметров тканей) в интерактивном режиме. Создана база данных по свойствам сосудов сердечно-сосудистой системы. Разработан численный алгоритм для решения системы разностных уравнений на графе, реализованный в программе STEP , и средства визуализации результатов расчетов.
Указанное математическое обеспечение включено в пакет программ CVSS , который в интерактивном режиме позволяет осуществлять математическое моделирование движения крови в системе кровообращения, изменяя, по мере необходимости ее свойства, параметры, конфигурацию. Результаты расчетов представляются в графическом и цифровом виде. Программы ориентированы на работу в ОC МS-DOS и WINDOWS.
С.И. Мухин, Н.В. Соснин, А.П. Фаворский, А.Б. Хруленко.
Линейный анализ волн давления и скорости в системе эластичных сосудов:
Препринт. – М: МАКС Пресс, 2001. – 37с.
Кошелев
В.Б., Мухин С.И., Соколова Т.В., Соснин Н.В. Математическое моделирование
гемодинамики сердечно-сосудистой системы с учетом влияния нейрогенной регуляции
на работу сердца. Препринт. М.: МАКС Пресс, 2005. 26 с.
Лукшин
В.А., Мухин С.И., Соколова Т.В., Соснин Н.В., Фаворский А.П. Математическое
моделирование гемодинамики сердечно-сосудистой системы с учетом нейрогенной
регуляции. Препринт. М.: МАКС Пресс, 2005. 35 с.