МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ СЕРДЕЧНО-СОСУДИСТОЙ СИСТЕМЫ
В работе рассмотрены основные принципы построения математических моделей течения крови в замкнутой сердечно-сосудистой системе человека в квазиодномерном приближении. Приведено исследование системы уравнений гемодинамики на отдельном сосуде, формальное описание сердечно-сосудистой системы в целом. Рассмотрены математические модели некоторых органов, связанных с работой кровеносной системы. Построены численные методы решение уравнений гемодинамики на графе сердечно-сосудистой системы. Приведены примеры математического моделирования процессов гемодинамики.
Математическое моделирование сердечно-сосудистой системы (просмотреть)
Самарский А.А. ,Фаворский А.П., Абакумов М.В.,Гаврилюк К.В., Лукшин В.А., Есикова Н.Б.,Лукшин Ан.В., Мухин С.И., Соснин Н.В.
Препринт ,1996
Работа посвящена обсуждению одной из базовых математических моделей , методики расчета и структуры программных средств, предназначенных для численного моделирования процесса гемодинамики сердечно-сосудистой системы. Рассматривается квазиодномерное приближение вязкого течения крови на графе эластичных сосудов с учетом работы сердца и капиллярного строения тканей.
Методика математического моделирования сердечно-сосудистой системы
М.В.Абакумов, И.В.Ашметков, Н.Б.Есикова, В.Б.Кошелев, С.И.Мухин, Н.В.Соснин, В.Ф.Тишкин, А.П.Фаворский, А.Б.Хруленко (доступен в формате DOC (zip архив))
Математическая модель сердечно-сосудистой системы
А.П.Фаворский
, М.В.Абакумов, Н.Б.Есикова, С.И.Мухин, Н.В.Соснин. Препринт – М.: МГУ, 1998, - 16с.Настоящая работа связана с исследованием кровообращения в организме в целом под действием периодически сокращающегося сердца. Обращается внимание на взаимное влияние различных органов (в первую очередь почки) на давление в кровеносной системе. Предусматривается также изучение воздействия разнообразных факторов, связанных с отклонениями от нормы функциональных характеристик сосуда, на состояние системы в целом и способов компенсации дефектов сосудов, например, шунтирования. Одним из направлений применения данной работы является анализ воздействия и распространения фармакологических веществ. Предполагается рассмотрение внешних воздействий, например, вибрации на работу системы кровообращения. Система кровообращения формально описывается графом, состоящим из ребер и вершин. Ребра графа соответствуют отдельным крупным сосудам кровеносной системы или жгутам функционально однородных мелких сосудов. Вершинам графа приписаны функциональные свойства либо участков ветвления кровеносных сосудов, либо мышечных тканей, либо отдельных органов организма. В основу описания движения крови в системе положены законы сохранения массы и импульса, записанные в форме дифференциальных уравнений в частных производных. Сосуды считаются достаточно протяженными по сравнению со своими поперечными размерами (диаметром), что позволяет использовать для их математического описания квазиодномерное приближение. В качестве пространственной координаты выбрана длина дуги (оси сосуда), соединяющей центры сечения сосуда. Площадь сечения зависит от координаты и времени. Скорость движения крови считается направленной вдоль оси сосуда. Плотность крови предполагается постоянной. Для численной реализации указанной нелинейной математической модели на графе построена консервативная, однородная, неявная разностная схема на направленном графе. Система разностных уравнений замыкается дискретными аналогами соотношений, моделирующих работу органов, соотнесенных с узлами графа. Вся совокупность дискретных уравнений гемодинамики представляет собой систему нелинейных алгебраических уравнений для значений функций в узлах дискретной сетки на новом временном слое при известных значениях на предыдущем временном слое. Для решения этой нелинейной системы уравнений в работе использовался метод Ньютона. Авторами создан пакет программ, позволяющий проводить математическое моделирование кровообращения на произвольно заданном графе сердечно-сосудистой системы, предусматривающий возможность изменения свойств элементов графа в интерактивном режиме и визуализацию результатов расчетов. В качестве примера предлагается расчет большого круга кровообращения человека. Соответствующий граф содержит около 100 ребер и 50 вершин, с общим числом параметров системы более 1000 и числом неизвестных около 1500.
Частные решения уравнений гемодинамики.
И.В.Ашметков, С.И.Мухин, Н.В.Соснин, А.П.Фаворский, А.Б.Хруленко
Препринт. – М.: Диалог-МГУ, 1999, 43с.
В данной работе в линейном приближении рассматривается поведение малых отклонений от стационарных решений уравнений гемодинамики. Рассмотрены различные постановки начальных и смешанных задач. Установлены критерии существования и единственности решений этих задач. Изучено явление резонанса в одном сосуде в зависимости от внешних сил и краевых условий.
Численное исследование свойств разностной схемы для уравнений гемодинамики.
И.В.Ашметков, С.И.Мухин, Н.В.Соснин, А.П.Фаворский, А.Б.Хруленко
Препринт. – М.: Диалог-МГУ, 1999, 14c.
В данной работе обсуждаются некоторые свойства разностной схемы для уравнений гемодинамики. Приведенные результаты следуют из сравнения ряда численных решений с соответствующими приближенными аналитическими решениями.
Методика математического моделирования cердечно-сосудистой системы
М.В.Абакумов, И.В.Ашметков, Н.Б.Есикова, В.Б.Кошелев, С.И.Мухин, Н.В.Соснин, В.Ф.Тишкин, А.П.Фаворский, А.Б.Хруленко
Москва, Математическое моделирование, 2000 г.Данная работа связана с разработкой вычислительной методики, предназначенной для исследования кровообращения в организме в целом под действием периодически сокращающегося сердца. Обращается внимание на взаимное влияние различных органов (в первую очередь почки) на давление в кровеносной системе. Предусматривается также изучение воздействия разнообразных факторов, связанных с отклонениями от нормы функциональных характеристик сосуда, на состояние системы в целом и способов компенсации дефектов сосудов, например, шунтирования. При исследовании моделей гемодинамики важную роль играют точные и приближенные аналитические решения модельной задачи . Эти решения могут быть использованы как тесты для апробации математических моделей течения жидкости по эластичным трубкам. Система кровообращения формально описывается графом, состоящим из ребер и вершин. Ребра графа соответствуют отдельным крупным сосудам кровеносной системы или жгутам функционально однородных мелких сосудов. Вершинам графа приписаны функциональные свойства либо участков ветвления кровеносных сосудов, либо мышечных тканей, либо отдельных органов живого организма.
Анализ и сравнение некоторых аналитических и численных решений задач гемодинамики
Ашметков И.В., Мухин С.И., Соснин Н.В., Фаворский А.П., Хруленко А.Б.
Дифференц. уравнения. 2000.В настоящей работе проведен линейный анализ уравнений гемодинамики и построены некоторые точные решения для различных характерных типов граничных условий. Решения линеаризованных уравнений представляют самостоятельный интерес прежде всего с позиций изучения качественной структуры гемодинамических течений. Вместе с тем точные решения являются эффективными тестами для выяснения реальной точности и надёжности методики численного моделирования гемодинамики на линейной стадии, на которой, как правило, проявляются все качественные особенности течений.
Осредненная нелинейная модель гемодинамики в одном сосуде
А.Я. Буничева, С.И. Мухин, Н.В. Соснин, А.П. Фаворский
Препринт. – М: Диалог-МГУ, 2000. – 21 с.
В данной работе предложена осредненная нелинейная модель гемодинамики в отдельно взятом сосуде. Рассмотрен вопрос о корректной постановке граничных условий. Представлены результаты сравнения с точным решением линеаризованной задачи, а также с другой моделью гемодинамики.Осредненная нелинейная модель гемодинамики на графе сосудов.
А.Я. Буничева, С.И. Мухин, Н.В. Соснин, А.П. Фаворский
В данной работе рассматривается возможность построения упрощенной нелинейной модели гемодинамики на графе эластичных сосудов и ее использования в качестве базового модуля для построения разностной схемы для уравнений гемодинамики. Построение и использование такой модели представляется весьма полезным при изучении кровообращения в сложных кровеносных системах, состоящих из большого числа сосудов, мышечных тканей, органов и т.д. Вместе с тем ясно, что выстраиваемая упрощенная модель должна, по крайней мере, качественно передавать динамическое поведение важнейших гемодинамических характеристик, таких как давление, скорости, расход и т.д. на минимальном числе элементов разбиения. Частные модельные решения могут быть использованы для изучения качественной структуры гемодинамических течений, а также для априорной оценки характера поведения решения в более общих ситуациях. Весьма показательным в этом отношении является возможность построения и исследования точных решений линеаризованных задач гемодинамики в различных постановках .Большое внимание в работе уделяется верификации численного решения. В частности, приводится результат сравнения численного решения с точным решением линеаризованной задачи, а также проводится сравнительный анализ численного и точного решений в случае стационарного течения.В работе изучается роль отдельной группы сосудов (резистивных сосудов) в процессе формирования величины артериального давления.Численное исследование гемодинамики большого круга кровообращения
А.Я. Буничева, В.А. Лукшин, С.И. Мухин, Н.В. Соснин, А.П. Фаворский
Препринт. – М: МАКС Пресс, 2001. – 20 с.Данная работа посвящена описанию результатов математического моделирования гемодинамики большого круга кровообращения человека.Система кровообращения человека представляет собой систему эластичных сосудов (граф сосудов) по которой протекает кровь. Параметры течения – скорость, давление, определяются в норме в каждый момент времени нагнетательной функцией сердца, просветом сосудов (сечением) и их эластическими свойствами, свойствами капилляров тканей, работой почек. Параметры сердечного выброса, сечения и эластичность сосудов различных типов зависят от большого количества факторов – нервной и гуморальной регуляции, тонуса сосудов, местных метаболитов и т.д. Проявление этих факторов приводит к изменению сечений и эластичности сосудов, а изменение нагнетательной функции сердца – к изменению сердечного выброса и его частоты.В данной работе рассматривается течение крови в сердечно – сосудистой системе с заданными свойствами сосудов, тканей (множества капилляров) и заданным сердечным выбросом. Основной целью данной работы является получение гидродинамической картины течения в физиологически адекватной системе сосудов большого круга кровообращения человека. Данная модель в дальнейшем будет использоваться в качестве базовой для учета влияния выше упомянутых факторов на систему кровообращения в целом. Кроме того обсуждается изменение характерных параметров процесса (артериального и пульсового давлений, кровотока через различные органы) под воздействием различных факторов, в первую очередь сопротивления резистивных сосудов.
Математическое моделирование гидродинамики церебрального кровообращения
.В.А. Лукшин, С.И. Мухин, Т.В. Соколова, Н.В. Соснин, А.П. Фаворский
Препринт. – М: МАКС Пресс, 2001. – 20 с
Данная работа посвящена описанию результатов математического моделирования церебрального кровообращения человека. Рассматривается течение крови в системе сосудов головного мозга с заданными длинами, сечениями сосудов и свойствами эластичности стенок сосудов. Используемый в работе термин “кровь” подразумевает несжимаемую жидкость, у которой плотность и коэффициент кинематической вязкости совпадают с соответствующими параметрами крови человека. Граф сосудов головного мозга является достаточно сложным, поэтому рассматривать его одновременно со всей остальной подробно описанной частью сердечно-сосудистой системы нерационально, тем более, что гемодинамические процессы вне головного мозга в рамках данной работы не рассматриваются. В связи с этим, наряду с собственно мозговыми сосудами, в модель включено сердце, дуга аорты и эффективно учтено наличие кровообращения в руках и остальной части большого круга кровообращения. Первой целью работы являлось получение гидродинамической картины стационарного течения крови в сосудах головного мозга в норме. Такое течение может служить базовым течением, в которое вносятся разнообразные изменения, моделирующие исследуемые ситуации. Необходимыми условиями получения такого базового течения являются построение достаточно полного графа основных сосудов головного мозга и построение базы данных по характерным параметрам учтенных сосудов. На основании полученной типичной гидродинамической картины течения крови (нормы) появляется возможность моделировать и изучать гидродинамические последствия как патологических изменений в топологии сосудов и их свойствах (стенозы, тромбозы магистральных артерий головы), так и интраоперационных манипуляций с сосудами (треппинг аневризмы сосудов головного мозга, временное окклюзия магистральных артерий головы, деконструктивые эндоваскулярные вмешательства на магистральных артериях головы). В последствии данные численного эксперимента могут использоваться при планировании хирургических вмешательств. В работе, в качестве примеров, приведены исследования обеднения кровоснабжения различных разделов мозга при окклюзиях некоторых основных артерий мозга.
Линейный анализ волн давления и скорости в системе эластичных сосудов
С.И. Мухин, Н.В. Соснин, А.П. Фаворский, А.Б. Хруленко
Препринт. – М: МАКС Пресс, 2001. – 37с.(просмотреть)
В данной работе для линеаризованных гемодинамических (ЛГД) уравнений в случае дозвукового стационарного течения поставлена и аналитически решена смешанная задача на произвольном графе сосудов. Установлено, что в вершинах графа, где происходит скачкообразное изменение свойств ребер (например, сечения сосуда, его эластичности) наблюдается эффект частичного прохождения и отражения распространяющейся волны давления и скорости с изменением ее амплитуды. Получены выражения общего вида для транспортных коэффициентов, связывающие амплитуды волн до и после момента прохождения вершины графа. Аналогичные формулы для транспортных коэффициентов известны из работ .В работе исследуется ряд свойств транспортных коэффициентов. Обсуждаются вопросы, связанные с программной реализацией алгоритма расчета решений ЛГД уравнений на произвольном графе сосудов.Приведены результаты верификации программного комплекса CVSS , реализующего численное решение уравнений гемодинамики на произвольном графе сосудов. Проведено сравнение результатов численного решения типовых задач на графе сосудов с построенными аналитическими решениями ЛГД уравнений.
С.И. Мухин, Н.В. Соснин, А.П. Фаворский, А.Б. Хруленко , В.Б. Кошелев.
Математическое моделирование неспецифического аортоартериита: Препринт. – М:
МАКС Пресс, 2001. – 52с.(просмотреть)
В работе вычислены значения транспортных коэффициентов для
артериальной части большого круга кровообращения. Промоделирован ряд синдромов
неспецифического аортоартериита.
Решение общей задачи для ЛГД уравнений на одном сосуде
И.В. Ашметков, С.И. Мухин, Н.В. Соснин, А.П. Фаворский
Препринт. – М.: МАКС Пресс, 2001. – 22с.В настоящей работе поставлена и решена общая краевая задача для ЛГД уравнений в одном сосуде. Задача решена с помощью метода продолжений. Подробно описан процесс построения точного решения. Показано, что решение имеет качественно различный характер в зависимости от значений коэффициента усиления. Найдены значения коэффициентов усиления для стандартных граничных условий.В работе приведены результаты расчетов ряда гемодинамических течений. Показано, что выводы линейной теории относительно качественных особенностей течения совпадают с результатами численных расчетов.
Краевая задача для ЛГД уравнений на графе
И.В. Ашметков, С.И. Мухин, Н.В. Соснин, А.П. Фаворский
Препринт. – М.: МАКС Пресс, 2002г. – 88с. (просмотреть)
В работе приведены аналитические решения краевой задачи для ЛГД уравнений на ряде графов. Предложен разностный метод исследования поведения амплитуды пульсовых волн на произвольном графе. Сформулирован реализуемый критерий неограниченного роста амплитуды пульсовых волн на произвольном графе. Выводы линейной теории подтверждены результатами численного решения ряда краевых задач для нелинейных уравнений гемодинамики на соответствующих графах.
Исследование эволюции параметров течения в системе кровообращения под воздействием гравитационных нагрузок:
М: А.Я. Буничева , С.И. Мухин, Н.В. Соснин, А.П. Фаворский
Препринт.-МАКС Пресс, 2003 - 18 с.
Настоящая работа направлена на исследование кровообращения в организме человека при воздействии гравитационных перегрузок. Основное внимание уделяется моделям работы сердца в условиях гравитационных перегрузок, а также влиянию эластичности сосудов и особенностей уравнения состояния сосудов (в первую очередь вен) на режим течения крови.
Математическое моделирование гемодинамических факторов развития аневризм в артериальных сосудах.
И.В. Ашметков, С.И. Мухин, Н.В. Соснин, А.П. Фаворский
Препринт. - М., МАКС Пресс, 2003, 51с.
В работе приведены результаты расчета стационарного течения на графе сосудов головного мозга. Для каждой вершины артериальной части графа вычислены значения коэффициентов прохождения и отражения пульсовых волн давления. Рассчитаны определители матриц, составленных из коэффициентов прохождения и отражения. Показано, что при определенных условиях в артериальной части сосудистой системы могут возникать колебания давления с растущей во времени амплитудой. Отмечена взаимосвязь между местами локализации в сосудистой системе аневризм и определенными числовыми значениями определителей матриц, составленных из коэффициентов прохождения и отражения пульсовых волн.
Математическое моделирование церебральной гемодинамики в квазипериодическом режиме
В.А. Лукшин, С.И. Мухин, Т.В. Соколова, Н.В. Соснин, А.П. Фаворский
Препринт. - М., МАКС Пресс, 2003, 20 с.
Работа посвящена математическому моделированию квазипериодического тока крови в основных сосудах головного мозга. Система сосудов головного мозга рассматривается как детализированный подграф замкнутой системы кровообращения. Поток крови в системе порождается самосогласованной моделью сердца. Численно получена квазипериодическая нестационарная картина течения крови в сосудах головного мозга, исследованы параметры этого течения, рассмотрена связь между изменением объема крови в мозге и током ликвора.
В работе приведены результаты математического моделирования течений с растущей амплитудой в области тройников Виллизиева круга мозга. Показано, что в артериальной части церебрального кровообращения могут возникать условия, способствующие развитию колебаний с растущей амплитудой. Высказано предположение, что такие колебания амплитуды пульсовой волны давления могут способствовать возникновению аневризм.
В работе в линейном приближении рассмотрено влияние вязкого трения на процесс распространения в эластичном сосуде пульсовых волн давления и скорости. Построены и исследованы приближенные аналитические и численные решения задачи Коши для уравнений гемодинамики с вязким трением.
В работе в линейном приближении рассмотрено влияние вязкого трения на процесс распространения в эластичном сосуде пульсовых волн давления и скорости. Построены и исследованы приближенные аналитические и численные решения задачи Коши для уравнений гемодинамики с вязким трением.
Кошелев В.Б., Мухин С.И., Соколова Т.В., Соснин Н.В. Математическое моделирование гемодинамики сердечно-сосудистой системы с учетом влияния нейрогенной регуляции на работу сердца. Препринт. М.: МАКС Пресс, 2005. 26 с.
Лукшин В.А., Мухин С.И., Соколова Т.В., Соснин Н.В., Фаворский А.П. Математическое моделирование гемодинамики сердечно-сосудистой системы с учетом нейрогенной регуляции. Препринт. М.: МАКС Пресс, 2005. 35 с.